2015天津商业大学数学建模竞赛题目

A题托盘装载问题

随着我国经济的发展，物资流动日益频繁，以散装、人工搬运为主的传统运输存储方式已远远不能现代物流的需要，托盘已成为衡量一个国物流效率水平的重要标志之一。中国作为世界制造业中心，托盘市场潜力巨大，但是根据中国物流与采购联合会托盘专业委员会于2009年发布的《第二次全国托盘现状研究报告》，我国目前拥有的托盘总量仅为1.9亿至2.2亿，而美国现拥有托盘总量约为20亿、日本7亿、欧盟30亿。可以预计今后我国托盘的总量将会以惊人的速度增长，物流托盘应用前景广阔，根据德国人Janer/Graefentein的设计法则，托盘面积的利用率增加5%，其包装成本约降低10%，因此研究如何在一个托盘中正交且不重叠地放置数目最多同尺寸的长方体箱子，即装盘装载问题(Pallet loading problem，PLP)，对降低物流运输成本，提高托盘的使用效率具有重要的现实意义。

请查阅我国使用的托盘规格标准（4种），解答如下问题：

1. 若某箱子的长为575px、宽为325px，将其放在长、宽分别为27500px、27500px的托盘上，怎样放置箱子（包括个数、图谱），才能使托盘面积的利用率最大？

2. 附表列出了某大型企业用于包装产品的各种箱子的规格尺寸，建立模型并求出分别将这些箱子放到30000px×25000px、27500px×27500px的托盘上使其表面利用率达到最大的放置箱子个数及图谱？

3. 探讨建立一般优化模型，以此求出将任意规格的箱子放到某一规格的托盘上使其利用率达到最大的装箱方式？

4. 针对两个不同规格的箱子450px×275px、650px×375px放到规格为30000px×25000px的托盘情形，至少给出一种使其利用率达到最大的装箱方式（包括个数、图谱）及其算法？

附表：某企业生产纸箱的规格尺寸（单位：cm）

序号	长	宽	序号	长	宽
1	31	22	31	18	9
2	39	25	32	11	8
3	32	10	33	19	13
4	22	19	34	21	16
5	32	17	35	19	13
6	21	19	36	38	18
7	27	23	37	39	19
8	51	32	38	22	15
9	30	31	39	18	86
10	31	26	40	14	69
11	58	31	41	14	69
12	33	15	42	23	14
13	32	25	43	22	11
14	30	21	44	23	13
15	38	24	45	31	14
16	28	26	46	19	13
17	36	21	47	29	12
18	31	12	48	16	13
19	35	22	49	15	11
20	37	20	50	25	17
21	23	21	51	12	11
22	29	17	52	23	10
23	35	27	53	37	15
24	29	18	54	18	13
25	54	41	55	33	17
26	33	27	56	23	18
27	33	23	57	18	15
28	35	23	58	35	19
29	39	29	59	28	21
30	42	20	60	26	20

（续表）

序号	长	宽	序号	长	宽
61	41	25	91	28	6
62	43	30	92	29	5
63	45	25	93	30	3
64	46	24	94	30	12
65	43	25	95	28	3
66	51	28	96	30	6
67	57	26	97	28	8
68	53	29	98	28	5
69	38	27	99	28	6
70	42	26	100	29	6
71	56	28	101	28	9
72	51	27	102	26	3
73	42	29	103	28	6
74	37	23	104	30	10
75	46	24	105	29	7
76	31	27	106	27	10
77	27	26	107	29	6
78	43	25	108	30	5
79	37	28	109	29	4
80	39	25	110	27	9
81	53	26	111	28	7
82	51	29	112	28	9
83	43	30	113	29	6
84	44	25	114	29	7
85	41	26	115	27	8
86	43	27	116	29	6
87	45	26	117	29	8
88	43	23	118	30	9
89	31	26	119	30	12
90	39	27	120	27	5

B题招聘面试问题

问题1: 某高校毕业生中有5名同学到一家公司参加四个阶段（秘书、副主管、主管和经理）的面试。面试程序上，要求每个同学都必须从第一阶段面试开始，然后进行第二阶段面试，…，最后进行第n阶段的面试，并且不允许插队(即在任何一个阶段5名同学的顺序是一样的).具体的面试时间如下表所示:

同学编号	秘书	副主管	主管	经理
1	13	15	20	5
2	10	20	18	6
3	20	16	10	7
4	8	10	15	8
5	14	11	8	9

假定开始面试时间是早晨8:00，建立的数学模型，求出他们最早离开公司的时间。

问题2: 假设该高校毕业生中有m名同学到一家公司应聘，按类似于问题1的面试规则需要参加该公司人事部门组织的n个阶段的面试。由于m名同学的专业背景不同,所以每人在每个阶段的面试时间也不同（注：t_ij表示同学i在第j阶段的面试时间）,如下表所示：

同学编号	第一阶段	第二阶段	…	第n阶段
1	t₁₁	t₁₂	…	t_1n
2	t₂₁	t₂₂	…	t_2n
…	…	…	…	…
m	t_m1	t_m2	…	t_mn

这m名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。请建立数学模型，以此讨论他们最早何时能离开该面试的公司?

问题3: 试设计一种你认为更科学、更公平、更合理的面试模式，并给出理由。

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